SherbyNet - /page/wikibook/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Hypercube</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Hypercube</h1>

</header>

</div>

Un hypercube est, en <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>, un analogue n-dimensionnel d'un <a href="Carr%C3%A9" title="Carré">carré</a> (n = 2) et d'un <a href="Cube" title="Cube">cube</a> (n = 3). C'est une figure <a href="Ferm%C3%A9_(topologie)" title="Fermé (topologie)">fermée</a>, <a href="Espace_compact" class="mw-redirect" title="Espace compact">compacte</a>, <a href="Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">convexe</a> constituée de groupes de <a href="Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">segments</a> <a href="Parall%C3%A9lisme_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Parallélisme (géométrie)">parallèles</a> opposés alignés dans chacune des <a href="Dimension_d'un_espace_affine" class="mw-redirect" title="Dimension d'un espace affine">dimensions</a> de l'espace, à <a href="Angle_droit" title="Angle droit">angle droit</a> les uns par rapport aux autres.

Un hypercube n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme « polytope de mesure » a aussi été utilisé (notamment par <a href="Coxeter" class="mw-redirect" title="Coxeter">Coxeter</a>), mais il est tombé en désuétude. Enfin, le cas particulier du 4-cube est souvent désigné par le terme de <a href="Tesseract" title="Tesseract">tesseract</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition">Définition</h2></div>

Si E est un <a href="Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espace euclidien</a> de dimension n muni d'une <a href="Base_orthonormale" class="mw-redirect" title="Base orthonormale">base orthonormale</a>, on définit un hypercube unité comme l'hypervolume délimité par les 2n points dans E ayant des coordonnées égales à 0 ou 1 reliés par des segments de droite. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des <a href="Similitude_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Similitude (géométrie)">similitudes</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Représenter_un_hypercube_de_dimension_n">Représenter un hypercube de dimension n</h2></div>

Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :

<ul><li>dimension 1 : un <a href="Point_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Point (géométrie)">point</a> est un hypercube de dimension zéro. Si l'on déplace ce point d'une longueur unité, il balaiera un segment de droite, qui est un hypercube unité de dimension 1</li></ul>

<ul><li>dimension 2 : si l'on déplace ce segment d'une longueur unité dans une direction <a href="Perpendiculaire" class="mw-redirect" title="Perpendiculaire">perpendiculaire</a> à partir de lui-même ; il balaie un carré bidimensionnel.</li></ul>

<ul><li>dimension 3 : si l'on déplace le carré d'une longueur unité dans la direction perpendiculaire à l'emplacement de celui-ci, il engendrera un cube tridimensionnel.</li></ul>

<ul><li>dimension 4 : si on déplace le cube d'une longueur unité dans la quatrième dimension, il engendrera un hypercube unité quadridimensionnel (un tesseract unité).</li></ul>

(Dimension n > 3 : on trace un hypercube de dimension n – 1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux.)

En résumé, la construction d'un hypercube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.

Les hypercubes constituent l'une des trois familles de <a href="Polytope_r%C3%A9gulier" title="Polytope régulier">polytopes réguliers</a> qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions (les deux autres sont les <a href="Simplexe" title="Simplexe">simplexes</a> et les <a href="Hyperocta%C3%A8dre" title="Hyperoctaèdre">hyperoctaèdres</a>).

Le <a href="Polytope_dual" title="Polytope dual">polytope dual</a> d’un hypercube est un <a href="Hyperocta%C3%A8dre" title="Hyperoctaèdre">hyperoctaèdre</a>.

Le 1-<a href="Squelette_(topologie)" class="mw-redirect" title="Squelette (topologie)">squelette</a> d’un hypercube est un <a href="Graphe_d'hypercube" class="mw-redirect" title="Graphe d'hypercube">graphe d'hypercube</a>.

Une généralisation du cube aux dimensions n plus grandes que 3 est appelée un hypercube n-dimensionnel ou n-cube. Le tesseract est l'hypercube quadridimensionnel ou 4-cube. C'est un <a href="Polytope_r%C3%A9gulier" title="Polytope régulier">polytope régulier</a>. C'est aussi un cas particulier de <a href="Parall%C3%A9lotope" title="Parallélotope">parallélotope</a> : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="4_dimensions">4 dimensions</h2></div>

Le 4-cube est également appelé tesseract, d'après <a href="Charles_Howard_Hinton" title="Charles Howard Hinton">Charles Howard Hinton</a>.

D'après la formule de <a href="Duncan_Sommerville" title="Duncan Sommerville">Sommerville</a> (<a href="#Éléments">voir infra</a>), le tesseract est composé de :

<ul><li>16 sommets ;</li>

<li>32 arêtes ;</li>

<li>24 faces planes carrées ;</li>

<li>8 faces tridimensionnelles cubiques (cubes).</li></ul>

Pour un 4-cube de côté c, on a les mesures suivantes :

<ul><li>« volume » (quadridimensionnel) : c4 ;</li>

<li>« surface externe » (tridimensionnelle) : 8c3 ;</li>

<li>« aire totale » (bidimensionnelle) : 24c2.</li></ul>

Les faces d'un 4-cube sont :

<ul><li>avant / arrière ;</li>

<li>gauche / droite ;</li>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="n_dimensions">n dimensions</h2></div>

Pour un n-cube de côté c :

<ul><li>le volume est cn.

<dl><dd>Si on le coupe en n tranches par des hyperplans perpendiculaires à la diagonale, les volumes des tranches sont les nombres d'Euler ;</dd></dl></li>

<li>l'aire totale est Fn c2 avec Fn le nombre de 2-faces (<a href="#Éléments">voir infra</a>) ;</li>

<li>le polytope dual est l'<a href="Hyperocta%C3%A8dre" title="Hyperoctaèdre">hyperoctaèdre</a> à n dimensions (appelé aussi <a href="N-polytope" title="N-polytope">n-polytope</a> croisé).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Éléments">Éléments</h2></div>

En notant Nn,k le nombre de k-cubes sur la frontière d'un n-cube (qui est nul si k < 0 ou k > n et qui vaut 1 si k = n = 0), on a<a href="#cite_note-1">[1]</a> :

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{n,k}=2N_{n-1,k}+N_{n-1,k-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b349ecbf421e356912c88dbfa09beb3849f64770.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.598ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle N_{n,k}=2N_{n-1,k}+N_{n-1,k-1}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Par conséquent<a href="#cite_note-2">[2]</a>,

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}N_{n,k}X^{k}=\left(2+X\right)^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0400d415e0c9d6b8e30d0eb9ee6504b65f540464.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:23.335ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}N_{n,k}X^{k}=\left(2+X\right)^{n}}" loading="lazy"></dd></dl>

donc

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{n,k}=2^{n-k}{\binom {n}{k}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43da0c458a1e3fb64fde99ffd55d60727762d028.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:16.829ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle N_{n,k}=2^{n-k}{\binom {n}{k}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Par exemple, dans un n-cube :

<ul><li>le nombre Nn,2 = Fn de 2-faces est n(n – 1) 2n–3 ;</li>

<li>le nombre Nn,n–1 de « côtés » est 2n (un segment 1-dimensionnel a deux points aux extrémités ; un carré 2-dimensionnel a quatre bords ; un cube 3-dimensionnel a 6 faces 2-dimensionnelles ; un hypercube 4-dimensionnel (tesseract) a 8 cellules).</li></ul>

Éléments d'hypercube

</caption>

<th>Noms

</th>

<th><a href="Polygone_de_P%C3%A9trie#La_famille_des_hypercubes" class="mw-redirect" title="Polygone de Pétrie">Graphe</a>

</th>

<th><a href="Symbole_de_Schl%C3%A4fli" title="Symbole de Schläfli">Symbole de Schläfli</a> <a href="Diagramme_de_Coxeter-Dynkin" title="Diagramme de Coxeter-Dynkin">Coxeter-Dynkin</a>

</th>

<th>Sommets (0-faces)

</th>

<th>Arêtes (1-faces)

</th>

<th>Faces (2-faces)

</th>

<th>Cellules (3-faces)

</th>

<th>(4-faces)

</th>

<th>(5-faces)

</th></tr>

<tr>

<th>n-cube

</th>

</td>

<th>2n

</th>

<th>n 2n–1

</th>

<th>n(n – 1) 2n–3

</th>

<th>n(n – 1)(n – 2)/3 2n–4

</th>

<th>n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/3 2n–7

</th>

<td>etc.

</td></tr>

<tr>

<td>0-cube <a href="Point_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Point (géométrie)">Point</a>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td style="text-align:center;">1

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>1-cube <a href="Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">Segment</a>

</td>

<td>

</td>

<td style="text-align:center;">{} ou {2}

</td>

<td style="text-align:center;">2

</td>

<td style="text-align:center;">1

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>2-cube <a href="Carr%C3%A9" title="Carré">Carré</a> Tétragone

</td>

<td>

</td>

<td style="text-align:center;">{4}

</td>

<td style="text-align:center;">4

</td>

<td style="text-align:center;">4

</td>

<td style="text-align:center;">1

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>3-cube <a href="Cube" title="Cube">Cube</a> Hexaèdre

</td>

<td>

</td>

<td style="text-align:center;">{4,3}

</td>

<td style="text-align:center;">8

</td>

<td style="text-align:center;">12

</td>

<td style="text-align:center;">6

</td>

<td style="text-align:center;">1

</td>

<td>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>4-cube <a href="Tesseract" title="Tesseract">Tesseract</a> Octachore

</td>

<td>

</td>

<td style="text-align:center;">{4,3,3}

</td>

<td style="text-align:center;">16

</td>

<td style="text-align:center;">32

</td>

<td style="text-align:center;">24

</td>

<td style="text-align:center;">8

</td>

<td style="text-align:center;">1

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>5-cube <a href="5-cube" title="5-cube">Penteract</a>

</td>

<td>

</td>

<td style="text-align:center;">{4,3,3,3}

</td>

<td style="text-align:center;">32

</td>

<td style="text-align:center;">80

</td>

<td style="text-align:center;">80

</td>

<td style="text-align:center;">40

</td>

<td style="text-align:center;">10

</td>

<td style="text-align:center;">1

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Voisinage_dans_une_grille_d'hypercube">Voisinage dans une grille d'hypercube</h3></div>

La formule précédente permet de répondre à la question : dans une grille régulière d'hypercubes, combien de voisins <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5615ffa6233b0d09d5bafafb58a752c1e8de95f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.346ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{n}}" loading="lazy"> possède un hypercube ? Il y a un voisin pour chaque élément de la frontière, c'est-à-dire, en utilisant la <a href="Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton" title="Formule du binôme de Newton">formule du binôme</a> :

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{n-k}{\binom {n}{k}}=3^{n}-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4d3ddda1625538fac71acddffa326c954dcc0dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.001ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle v_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}2^{n-k}{\binom {n}{k}}=3^{n}-1}" loading="lazy">.</dd></dl>

On peut vérifier par exemple que chaque carré d'un pavage possède 32 – 1 = 8 voisins, ou que chaque cube d'un empilement régulier de cubes possède 33 – 1 = 26 voisins.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Rotation_d'un_n-cube">Rotation d'un n-cube</h2></div>

La définition des <a href="Rotation_affine" title="Rotation affine">rotations</a> dans un espace euclidien quelconque passe par l'<a href="Alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire" title="Algèbre linéaire">algèbre linéaire</a>, et leurs propriétés ne se déduisent pas aisément de celles des rotations en dimension 3. On montre cependant que, de même qu'il est possible de faire tourner un cube autour d'une de ses 12 arêtes (ou d'un axe quelconque), on peut faire tourner un tesseract autour d'une de ses 24 faces carrées<a href="#cite_note-3">[3]</a> (ou d'une surface quelconque)

et qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un de ses 40 cubes entier, etc.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Représentations_littéraires_et_artistiques">Représentations littéraires et artistiques</h2></div>

<ul><li>Dans <a href="La_maison_biscornue_(nouvelle)" class="mw-redirect" title="La maison biscornue (nouvelle)">La maison biscornue</a>, une nouvelle de <a href="Science-fiction" title="Science-fiction">science-fiction</a> de <a href="Robert_Heinlein" class="mw-redirect" title="Robert Heinlein">Robert Heinlein</a>, un architecte construit une maison dont le plan est un patron d'hypercube ; à la suite d'un tremblement de terre, la maison se replie pour devenir un véritable hypercube.</li>

<li>Dans le film de <a href="Science-fiction" title="Science-fiction">science-fiction</a> <a href="Cube_2" title="Cube 2">Cube 2</a>, les héros sont enfermés dans un tesseract, ou du moins ils évoluent en se déplaçant d'un cube à l'autre parmi les faces de l'hypercube. D'un cube à l'autre, l'orientation de la pesanteur peut varier (en tout cas, les personnages le ressentent quand ils passent d'un cube à l'autre) le temps peut se dilater ou se contracter, et les personnages sont amenés à rencontrer des doubles d'eux-mêmes à cause de la superposition de futurs possibles. Mais le lien entre ces propriétés et le fait que l'histoire se déroule dans un tesseract n'est pas explicite et peut-être même inutile, la quatrième dimension étant plus abordée que l'hypercube en question.</li>

<li>En architecture, l'<a href="Arche_de_la_D%C3%A9fense" title="Arche de la Défense">Arche de la Défense</a> près de <a href="Paris" title="Paris">Paris</a> en <a href="France" title="France">France</a>, est une projection en trois dimensions d'un hypercube de dimension 4.</li>

<li>Le tableau <a href="Corpus_hypercubus" title="Corpus hypercubus">Corpus hypercubus</a> (<a href="Salvador_Dal%C3%AD" title="Salvador Dalí">Salvador Dalí</a>, <a href="1954" title="1954">1954</a>) décrit un <a href="J%C3%A9sus" class="mw-redirect" title="Jésus">Jésus</a> crucifié sur le patron d'un hypercube.</li>

<li>Le roman <a href="Factoring_Humanity" class="mw-redirect" title="Factoring Humanity">Factoring Humanity</a> (<a href="Robert_J._Sawyer" title="Robert J. Sawyer">Robert J. Sawyer</a>, <a href="1998" title="1998">1998</a>), abordant le thème de la communication avec une civilisation extraterrestre, décrit l'hypothèse selon laquelle les messages extraterrestres se présenteraient sous la forme d'un hypercube.</li>

<li>Dans le jeu <a href="Fez_(jeu_vid%C3%A9o)" title="Fez (jeu vidéo)">FEZ</a>, le personnage de DOT (qui accompagne le héros) est la projection en 3D d'un hypercube.</li>

<li>Dans la série britannique <a href="Doctor_Who" title="Doctor Who">Doctor Who</a>, saison 6 épisode 4, le Docteur reçoit un tesseract de la part d'un Seigneur du Temps en détresse. Dans la série le tesseract agit comme un courrier électronique en audio/vidéo et également comme balise de localisation géo-spatio-temporel.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube?oldid=108836040">Hypercube</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <a href="#Coxeter1973">Coxeter 1973</a>, <abbr class="abbr" title="page(s)">p.</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&pg=PA122">122</a> sur <a href="Google_Livres" title="Google Livres">Google Livres</a>.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> D. M. Y. Sommerville, <cite class="italique" lang="en">An Introduction to the Geometry of n Dimensions</cite>, Londres, <a href="Methuen_(maison_d'%C3%A9dition)" title="Methuen (maison d'édition)">Methuen</a>, <time>1929</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.220891/2015.220891.An-Introduction#page/n51/mode/1up">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 29<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=An+Introduction+to+the+Geometry+of+n+Dimensions&rft.place=Londres&rft.pub=Methuen&rft.aulast=Y.+Sommerville&rft.aufirst=D.+M.&rft.date=1929&rft.pages=29&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AHypercube">.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eusebeia.dyndns.org/4d/8-cell.html">The Tesseract</a> et <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://eusebeia.dyndns.org/4d/vis/09-rot-1.html">4D Visualization</a> expliquent et illustrent avec des animations les rotations quadridimensionnelles.

</li>

</ol></div>

</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Voir_aussi">Voir aussi</h2></div>

/* start https://fr.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .autres-projets>.titre{text-align:center;margin:0.2em 0}.mw-parser-output .autres-projets>ul{margin:0;padding:0}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li{list-style:none;margin:0.2em 0;text-indent:0;padding-left:24px;min-height:20px;text-align:left;display:block}.mw-parser-output .autres-projets>ul>li>a{font-style:italic}@media(max-width:720px){.mw-parser-output .autres-projets{float:none}}

/* end https://fr.wikipedia.org/ */

</style>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Article_connexe">Article connexe</h3></div>

<a href="Hypercube_magique" title="Hypercube magique">Hypercube magique</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mrl.nyu.edu/~perlin/demox/Hyper.html">Seeing into four dimensions</a> : comment visualiser un hypercube, par <a href="Ken_Perlin" title="Ken Perlin">Ken Perlin</a>.</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://hypercube.milosz.ca/">Hypercube</a>, par Milosz : projection d'un hypercube avec ou sans perspective, rotation à la souris autour des 4 axes.</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : français">(fr)</abbr> <a rel="nofollow" class="external text" href="http://4dimensions.free.fr/">4dimensions</a> : explication de la notion d'un <a href="Espace_%C3%A0_quatre_dimensions" title="Espace à quatre dimensions">espace à quatre dimensions</a> par l'hypercube. Créé par Florian Mounier.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<ul><li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Jonathan_Bowen" title="Jonathan Bowen">Jonathan Bowen</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Hypercubes</cite> », Practical Computing <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Practical_Computing" class="extiw external" title="en:Practical Computing">(en)</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 5, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 4,‎ <time>1982</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 97-99 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.dankalia.com/science/hyp080.htm">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Hypercubes&rft.jtitle=%3APractical+Computing%C2%A0%28en%29Cat%C3%A9gorie%3AArticle+contenant+un+appel+%C3%A0+traduction+en+anglais&rft.issue=4&rft.aulast=Bowen&rft.aufirst=Jonathan&rft.date=1982&rft.volume=5&rft.pages=97-99&rft_id=http%3A%2F%2Fwww.dankalia.com%2Fscience%2Fhyp080.htm&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AHypercube">.</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Harold_Scott_MacDonald_Coxeter" title="Harold Scott MacDonald Coxeter">H. S. M. Coxeter</a>, <cite class="italique" lang="en"><a href="Regular_polytopes" class="mw-redirect" title="Regular polytopes">Regular polytopes</a></cite>, <a href="Dover_Publications" title="Dover Publications">Dover Publications</a>, <time>1973</time>, <abbr class="abbr" title="troisième">3e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> (<abbr class="abbr" title="première">1re</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr> 1943), 321 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-486-61480-9, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC&printsec=frontcover">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 295<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Regular+polytopes&rft.pub=Dover+Publications&rft.edition=3&rft.aulast=Coxeter&rft.aufirst=H.+S.+M.&rft.date=1973&rft.pages=295&rft.tpages=321&rft.isbn=978-0-486-61480-9&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AHypercube">, Table <abbr class="abbr" title="1">I</abbr> (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n ≥ 5).</li></ul>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de la géométrie </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-06-13" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Hypercube&oldid=226475468">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>